求解大学线性代数证明题与解答题

求解大学线性代数证明题与解答题

线性代数期末复习题

一.
因为 a1,a2 是AX=0 的解
所以 a1+a2,2a1-a2 也是 AX=0 的解.
因为 (a1+a2,2a1-a2) = (a1,a2) K
K =
1 2
1 -1
|K| = -3 ≠ 0
故K可逆
所以 r(a1+a2,2a1-a2) = r(a1,a2) = 2
所以 a1+a2,2a1-a2 也是 AX=0 的基础解系.
二.A =
1 -2 2
-2 -2 4
2 4 -2
|A-λE| =
1-λ -2 2
-2 -2-λ 4
2 4 -2-λ
=c2+c3
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
2 2-λ -2-λ
=r3-r2
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
4 0 -6-λ
=(2-λ)*
1-λ 2
4 -6-λ
= -(λ + 7)(λ - 2)^2
A的特征值为 -7,2,2
(A+7E)X=0 的基础解系为:a1=(1,2,-2)'
(A-2E)X=0 的正交的基础解系为:a2=(2,-1,0)',a3=(1,2,5/2)' --已正交
单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'
令T=(c1,c2,c3).则T是正交矩阵,满足 T^-1AT = diag(-7,2,2)