逆函数定义 性质

如题 请帮忙 讲下 注意是逆函数 不是反函数请从定义 性质 和用法几方面分别说明下 就像高中数学书那样 多谢了 别就帖个网页阿 那个我用百度也搜得到

函数是一种特殊的关系, 若R是从X到Y的关系，则逆关系Rc为从Y到X的关系，但对于任意给定一个函数f，它的逆不一定是函数，例如函数

f = {<x1, y1>, <x2, y1>, <x3, y2>}

其逆

f -1 = {<y1, x1>, <y1, x2>, <y2, x3>}

显然是关系而不是函数。因为y1对应两个值x1, x2。破坏了单值性。在什么情况下函数的逆也是函数呢？

定理4.2.1 设f: x®y是一个双射函数，则其逆f -1是y到x的双射函数。

证明：因f是函数，f -1是关系，故

dom f -1 = ranf = Y

ranf = domf = X

对任yÎY，设x1, x2ÎX，使

<y, x1>, <y, x2>Î f -1

则 <x1, y>, <x2, y>Î f

由f为单射，故x1 = x2，即对任有从Y到X的唯一的与之对应，故f -1为从有y到x的函数。

又ran f -1 = X，故f -1: y®x是满射。

对任y1, y2ÎY，y1≠y2，假设存在 使

x = f -1 (y1 ) = f -1 (y2)

则<x, y1>, <x, y2>Îf，且y1≠y2

这与f为函数矛盾。故f -1 (y1 ) ≠ f -1 (y2)

即：f -1: Y®X为单射。即f -1是双射。

定义4.2.1 设f: X®Y是一个双射函数，则称f的逆关系为f的逆函数，记f -1

例：f (x) = sinx, 若限定 ，Y = [-1, 1]则f是X到Y的双射函数，且 x = arc sin y为f的逆函数。

定义4.2.2 设函数f: X®Y，g: W®Z, 若f (X)ÍW，则gof = {<x, z>| xÎX且zÎZ 并且 $y | yÎY

y = f (x) , z = g (y)

则称g在函数f左边可复合。

可以证明两个函数的复合是一个函数（定理4.2.2）

例：g : Rt®R : g (x) = lnx

f : R®R : f (x) = x+1

则有 domg = R+, rang = R

domf = R, ranf = R

而函数gof的定义域不的R，而是(-1, +¥)

且有gof(x) = g(f(x)) = ln(x+1)

注意，ranfÍdomg, 若不满足此条件，则定义gof为空。

例: X = {1, 2, 3}, Y = {p, q}, Z = {a, b}

f = {<1, p>, <2, p>, <3, q>}

g = {<p, b>, <q, b>}

则 gof = {<1, b>, <2, b>, <3, b>}

在上节中讨论了函数的单射，满射，双射，这些性质经复合运算后，能否保持呢？

定理4.2.3 令gof 是一个复合函数。

1）若g，f是满射，则gof为满射，

2）若g，f 是入射，则gof是入射。

3）若g，f是入射，则gof是双射。

证：设f: X®Y，g：Y®Z

1）对任zÎZ，因g满，故存在yÎY, 使f(y)=z。对于此y，由于f满故存在xÎX，使f(x)=y，故

gof (x)=g(f(x))=g(y)=z

即gof 满。

2）对任x1, x2ÎX, x1¹x2 ， f为入射故

f (x1) ¹f (x2 )ÎY

又g也为入射，故

g (f (x1))¹g (f (x2))

于是x1¹x2必有gof (x1) ¹ gof (x2)，即gof 为入射。

3）由1），2）知3）成立。

设函数f: X®Y, IX: X®X, Iy: Y®Y分别为X，Y上的恒等函数。

则 f = foIX = Iy of

此结论由复合函数的定义易见成立。

定理4.2.5 若函数f: X®Y 有逆函数f -1 : Y®X。则

f -1of = IX

f o f -1 = Iy

证：仅证f –1of = IX

f –1of与IX的定义域都为X，又f, f -1都为双射。

故若f : x ® f (x)，则f -1 (f (x)) = x

即是说，对任xÎX，f –1of (x) = f -1 (f (x)) = x

就是反函数，给出函数y=f(x),知道x,可以求出应变量y，而将这个过程反过来，知道应变量y，反求自变量x的过程就是函数求逆的过程，对应的函数就是逆函数，x=f-1（y） （-1为上标）

(因为没有公式编辑器,你凑合看吧)带有X的解析式来表示Y,Y=f(x) x的取值范围叫定义域,y的取值范围叫值域 现在对y=f(x)进行变形成x=f(y),再令x=y,y=x,就得到了原函数的逆函数解析式,那么现在这个逆函数的定义域就是原函数的值域,值域就是原函数的定义域,由于他是 令x=y,y=x ,所以原函数的图象与逆函数的图象关于y=x对称 基本上现在的高考题目都是围绕这2点来出的,但很少单独出题,都是夹在大题中做为个考点