中国剩余定理：我国古代数学名著《孙子算经》中,记在这样一个问题:“今有物

中国剩余定理：我国古代数学名著《孙子算经》中,记在这样一个问题:“今有物
不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.”用现在
的话来说就是：“有一批物品,三个三个的数余两个,五个五个的数余三个,七
个七个的数余两个,问这批物品最少有几个.”这个问题的解题思路,被称为“
孙子问题”、“鬼估算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等.
为了解决这个问题,明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：
三人同行七十（70）稀,五树梅花廿一（21）枝,
七子团圆正月半（15）,除百零五（105）便得知.
歌诀中每一句话都是一步解法,第一句指除以三的余数用七十去乘,第二句是指
除以五的余数用21去乘,第三句是指除以七的余数用15去乘,第四句是指上面乘
得的三个积相加的和如果超过105,就减去105的倍数,就得到答案了,即：70×
2+21×3+15×2-105×2=23.
【例题】
有一个年级的同学,每九个人一排多五个人,每七人一排多一个人,每五人一排
多两个人,这个年级至少有多少人?
题中9、7、5三个数两两互质.
则【7,5】=35,【9,5】=45,【9,7】=63,【9,7,5】=315.
为了使35倍9除余1,用35×8=280；
为了使45倍7除余1,用45×5=225；
为了使63倍5除余1,用63×2=126.
然后,280×5+225×1+126×2=1877,
所以,1877-315×5=302,就是所求的数.

写成数论记号：同余号≡以下简记为==
x==2 mod 3
==3 mod 5
==2 mod 7
这在数论中称为同余方程组,简称同余式组.
中国剩余定理就是求解同余式组的手段之一(注意,并不是唯一方法).它的思想是这样的：
求出
x1==1 mod 3
==0 mod 5
==0 mod 7
x2==0 mod 3
==1 mod 5
==0 mod 7
x3==0 mod 3
==0 mod 5
==1 mod 7
那么2x1+3x2+2x3即为所求解x.
如果用我引进的向量记法(近来我发现网上也有作者有类似记法),就更容易理
原题：x==(2,3,2) mod (3,5,7)
孙子定理：x1==(1,0,0);x2==(0,1,0);x3=(0,0,1)
x==2x1+3x2+2x3.
在求解x1时,显然x1==(0,0)mod (5,7),即x1被5,7整除.从而可设x1=5*7*k1==1 mod 3.
这里k1就是人们所说的乘率,古人求k1常用的就是大衍求一术.
这种方法实际上就是分化了维度,通过单位向量简化问题.近世代数的许多观点与方法,与这不谋而合,实际是受了中国剩余定理的启发.还有拉格朗日插值法,也与此一致.
同时我们还可以看到,x==(2,3,2) mod (3,5,7)
还可以等效于x==(2,2,2)+(0,1,0),这样无疑是对上述算法的一种改进.正如牛顿插值法相对于拉格朗晶插值的改进.
还有很多例题,如果套用中国剩余定理,实际上还不如活用巧用.那么活用巧用的规律在哪里?这便是对中国剩余定理的改进.基于我的心得和笔记,我认为,中国剩余定理大有改进余地.
基于同余式组（就是以上类别的同余方程组）,柯召·孙琦中,自然地引进了模余计数法.
我,建立了一种类似于向量的记法,矩阵的记法(称之为模积计数法.)并给出转化的快捷运算方案.
用现代矩阵论的成果,并考虑到其中的对称性,可以简化中国剩余定理,进行非常快捷的计算.]
更多内容请参见我的文章：中国剩余定理大有改进余地-连分数-Lucas序列-欧几里德算法(辗转相除)-类矩阵符号记法
后面那道题：
x==5 mod 9
==1 mod 7
==2 mod 5
我提示一下：设x=5*7*k1+5*9*k2+7*9*k3,由条件,求出k1,k2,k3,然后代入即可求得.