函数f(X)=ax^2+2(a-1)x+2在区间（-oo,4)上是减函数，求a的取值范围
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解决时间 2021-01-22 07:22
- 提问者网友：骨子里的高雅
- 2021-01-21 21:26
函数f(X)=ax^2+2(a-1)x+2在区间（-oo,4)上是减函数，求a的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：像个废品
- 2021-01-21 21:34
a=0时，函数f(x) = -2x+2为减函数，满足题目要求。
a≠0时，函数f(x)是抛物线函数，在-∞一侧是减函数，必然有a<0。要在(-∞,4)上都是减函数，必须顶点在x≥4的地方。
而f(x)=ax²+2(a-1)x+2=a(x+(a-1)/a)²+2-(a-1)²/a的顶点在x=-(a-1)/a，
而a<0 ==> -(a-1)>0 ==> -(a-1)/a<0，因此顶点位置的x一定小于0，不可能在x≥4的地方。因此a的取值范围为a=0.
怀疑题目写错了，改成f(x)=ax²-2(a-1)x+2，
a=0时，函数f(x) = 2x+2为增函数，不满足题目要求。
a≠0时，函数f(x)是抛物线函数，在-∞一侧是减函数，必然有a<0。要在(-∞,4)上都是减函数，必须顶点在x≥4的地方。
而f(x)=ax²-2(a-1)x+2=a(x-(a-1)/a)²+2-(a-1)²/a的顶点在x=(a-1)/a，
(a-1)/a≥4 ==> a-1≤4a ==> -1≤3a ==> a≥-1/3
因此，a的取值范围为0>a≥-1/3
a≠0时，函数f(x)是抛物线函数，在-∞一侧是减函数，必然有a<0。要在(-∞,4)上都是减函数，必须顶点在x≥4的地方。
而f(x)=ax²+2(a-1)x+2=a(x+(a-1)/a)²+2-(a-1)²/a的顶点在x=-(a-1)/a，
而a<0 ==> -(a-1)>0 ==> -(a-1)/a<0，因此顶点位置的x一定小于0，不可能在x≥4的地方。因此a的取值范围为a=0.
怀疑题目写错了，改成f(x)=ax²-2(a-1)x+2，
a=0时，函数f(x) = 2x+2为增函数，不满足题目要求。
a≠0时，函数f(x)是抛物线函数，在-∞一侧是减函数，必然有a<0。要在(-∞,4)上都是减函数，必须顶点在x≥4的地方。
而f(x)=ax²-2(a-1)x+2=a(x-(a-1)/a)²+2-(a-1)²/a的顶点在x=(a-1)/a，
(a-1)/a≥4 ==> a-1≤4a ==> -1≤3a ==> a≥-1/3
因此，a的取值范围为0>a≥-1/3
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