在直角梯形ABCD中，AB//DC,<D=90°，AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，

点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形A恭钉多固鼙改俄爽藩鲸FEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？ 问题补充：E点同时以1cm/秒的速度在恭钉多固鼙改俄爽藩鲸线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？

您提问的原题是：（2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB‖DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)． （1）求证：△ACD∽△BAC； （2）求DC的长； （3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值。 以您的提问为主，咱们重点探究第（3）问，但第（1）、（2）问也顺手牵羊解决吧！ 解：（1）求证：△ACD∽△BAC ∵ AB‖DC ∴ ∠DCA = ∠CAB ∵ AC⊥BC ∴ ∠BCA = 90° 而已知 ∠D = 90° ∴ ∠D = ∠BCA 在△ACD 和 △BAC 中， ∠DCA = ∠CAB （已证） ∠D = ∠BCA （已证） ∴ △ACD ∽ △BAC （2）求DC的长 由第（1）问知： △ACD ∽ △BAC ∴ AC ：BA = DC ：CA ∴ 8 ：10 = DC ： 8 ∴ DC = （8 × 8）/ 10 = 32/5 或 6.4 还可以用另外的方法求DC的长： ∵ AB‖DC ∴ ∠DCA = ∠CAB 在Rt△CAB 中， 由勾股定理得：AC = 8 ∴ cos∠CAB = AC/AB = 8/10 = 4/5 由∠DCA = ∠CAB 得： cos∠DCA = cos∠CAB = 4/5 ∴ 在Rt△DCA 中，由cos∠DCA = DC/AC 得： DC = AC × cos∠DCA = 8 × （4/5） = 32/5 或 6.4 （3）求Y 关于T的函数关系式，并求出Y的最小值。 解题思路：用Rt△CAB 的面积 减去 △EFB的面积 即可。 Rt△CAB 的面积 为 S△CAB = （1/2）× BC × AC = （1/2）× 6 × 8 = 24 过点E 作 EH ⊥ FB 于点H， 在Rt△CAB 中， sin∠B = AC/AB = 8/10 = 4/5 在 Rt△EHB 中，BE = T， 由 sin∠B = EH/BE 得： EH = BE × sin∠B = T × （4/5） = 4T/5 ∴ △EFB的面积 为 S△EFB =（1/2）× FB × EH =（1/2）× （AB -- AF）× EH =（1/2）× （10 -- 2T） × EH =（1/2）× （10 -- 2T） × （ 4T/5） = （5 -- T）× （ 4T/5） ∴ Y = S△CAB -- S△EFB = 24 --（5 -- T）× （ 4T/5） = 24 +（T -- 5）× （ 4T/5） = （4/5）× T平方 -- 4T + 24 = （4/5）×（T平方 -- 5T + 30） = （4/5）× [（T -- 5/2）平方 -- 25/4 + 120/4 ] = （4/5）× [（T -- 5/2）平方 + 95/4 ] = （4/5）×（T -- 5/2）平方 + 19 显然，该该二次函数 当 T = 5/2 时，能取到最小值 19。 而 T = 5/2 在 自变量的取值范围（0<T<5）之内， 所以，Y 关于T的函数关系式为： Y = （4/5）×（T -- 5/2）平方 + 19 Y的最小值 为 19（平方厘米）。 注：① 凡求解牵涉到实际问题的二次函数的表达式， 一定注意 自变量的取值范围； ② 平时解题，一定注意有意识地训练自己“快速形成思路“ 和 “快速形成卷面”； ③ 回答者 不宜 为 提问者 照搬答案。

解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA 又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°， ∴△ACD∽△BAC． （2）Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=8cm， ∵△ACD∽△BAC，∴DCAC=ACAB， 即DC8=810，解得：DC=6.4cm． （3）过点E作AB的垂线，垂足为G， ∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共， ∴△ACB∽△EGB， ∴EGAC=BEAB，即EG8=t10，故EG=45t； y=S△ABC-S△BEF =12×6×8-12(10-2t)•45t=45t2-4t+24 =45(t-52)2+19； 故当t=52时，y的最小值为19． 点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．

首先，S(ABC)=1/2*6*8=24cm^2 对三角形FBE，以BE为底，高记作FH(h)。 三角形ABC相似于三角形FBH，所以AB/FB=AC/h，又FB=10-2T，所以h=8-8/5T S(FBE)=1/2*BE*h=1/2*T*(8-8/5T)=4T-4/5T^2 最后，S(AFEC)=S(ABC)-S(FBE)=24-4T+4/5T^2=4/5T^2-4T+24 即Y=4/5T^2-4T+24 (A) 抛物线开口向上，最低点横坐标为-b/(2a)=2.5 T=2.5代入（A）式得：Y(min)=19cm^2.

bf=10-2t，be=t 分两种情况计算 一是10-2t：t=10：6，t=30/11 二是10-2t：t=6：10，t=50/13