在由正整数组成的数列中{an}中,已知anan+1=2^2n-1(n∈N*),求证：数列｛an｝为等比数列的充要条件是a1=1

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解决时间 2021-01-03 01:35

提问者网友：动次大次蹦擦擦
2021-01-02 18:00

最佳答案

五星知识达人网友：迷人又混蛋
2021-01-02 19:06

证明：①充分条件：a1=1，{an}是等比数列
由anan+1=2^2n-1，得 n≥2时，anan-1=2^2n-3 两式相除，得 an+1/an-1=2²
则 anan+1=a1a2*2^(2n-2)=2^(2n-1)(n≥3) a1=1，得 a2=2 a3=4 a4=8
{an+1/an-1}是以4为首项的常数列
②必要条件：{an}是等比数列，a1=1
{an}是等比数列，公比为q，则 {anan+1}是以q²为公比的等比数列
anan+1/anan-1=2^(2n-1)/2^(2n-3)=q²=4 ，an＞0，q＞0，得 q=2 a1a2=2=a1²q
∴ a1=1

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1楼网友：十年萤火照君眠
2021-01-02 20:33

解：(1)∵数列{a[n]}满足条件：a[1]=1,a[2]=r,且数列{a[n]a[n+1]}是公比为q的等比数列
∴q≠0，r≠0，且a[n]a[n+1]=a[1]a[2]q^(n-1)=rq^(n-1)
∵a[n]a[n+1]+a[n+1]a[n+2]>a[n+2]a[n+3]
∴rq^(n-1)+rq^n>rq^(n+1)
1+q>q^2
即：q^2-q-1<0
∴(1-√5)/2<q<(1+√5)/2

(2)∵数列{a[n]a[n+1]}是公比为q的等比数列
∴(a[n+1]a[n+2])/(a[n]a[n+1])=a[n+2]/a[n]=q
∵a[1]=1
∴当n=2k-1时，a[n]=q^(k-1)
∵a[2]=r
∴当n=2k时，a[n]=rq^(k-1)
∵b[n]=a[2n-1]+a[2n] (n∈n)
∴b[n]=q^(n-1)+rq^(n-1)=(1+r)q^(n-1)
∴当n趋于无穷大时：
如果1+r=0，则b[n]的极限为：0
如果1+r≠0，则：
 如果q≤-1，则b[n]无极限
 如果0<|q|<1，则b[n]的极限为：0
 如果q=1，则b[n]的极限为：1+r
 如果q>1且1+r>0，则b[n]的极限为：正无穷大
 如果q>1且1+r<0，则b[n]的极限为：负无穷大

∵b[n]=(1+r)q^(n-1)
∴当q≠1时：s[n]=(1+r)(1-q^n)/(1-q)
 当q=1时： s[n]=n(1+r)
∴如果1+r=0，1/s[n]不存在

如果1+r≠0，则：
 当q≠1时：1/s[n]=(1-q)/[(1+r)(1-q^n)]
 当q=1时： 1/s[n]=1/[n(1+r)]
∴当n趋于无穷大时：
如果q=-1，则1/s[n]无极限
如果0<|q|<1，则1/s[n]的极限为：(1-q)/(1+r)
如果|q|>1或者q=1，则1/s[n]的极限为：0

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