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如何判断无理数的无理数次幂为无理数

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解决时间 2021-01-26 10:23
设根号2的根号2次幂=q/p,(q,p)=1,则q>1,将q经行质因数分解,则一定存在M使q的M次方根为无理数,如何证明,q/p的M次方根也为无理数?
最佳答案
“无理数的无理次幂为无理数”这句话明显是错的。
证明如下:设a、b均为无理数,按照上面的结论,那么必有:a^b=c为无理数--------------------①
对于任意的有理数d,那么必然有d^(1/b)为有理数,否则[d^(1/b)]^b=d为无理数,矛盾
所以我们由①可以得出结论:
如果a为有理数,b为无理数,那么a^b=d为有理数----------------------------------------②
做一个函数:f(x)=2^x-1,定义域为(1,+∞)
那么对应的值域也是(1,+∞),且是严格单调递增的
按照②的结论,当x为无理数的时候,f(x)为有理数!!!
也就是(1,+∞)上的无理数都能够在(1,+∞)上找到一个唯一的映射
这是不可能的,因为无理数的基数比有理数的基数大。这是集合论的结论,通
俗点讲就是说无理数比有理数多。
矛盾,所以①不成立。

证明的思路不一样。
全部回答
无理数的无理数次幂不一定为有理数,也可能为无理数 只能证明无理数的无理数次幂可能为有理数 比如可以证明(√2)^(√2)为有理数 令p = sqrt(2),q = sqrt(2), 问p ^ q是否为有理数,否的话, 令r = p ^ q, 则r ^ q = sqrt(2) ^ 2 = 2, 得证。
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