∫1/x*（ 根号下（1-x）/（1+x））dx
∫1/x*（ 根号下（1-x）/（1+x））dx
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解决时间 2021-08-18 16:44
- 提问者网友：临风不自傲
- 2021-08-17 16:03
最佳答案
- 五星知识达人网友：长青诗
- 2021-08-17 16:10
令√［（1－x）/（1＋x）］＝u,则：（1－x）/（1＋x）＝u^2,∴1－x＝u^2＋xu^2,
∴x（1＋u^2）＝1－u^2,∴x＝（1－u^2）/（1＋u^2）,
∴dx＝｛［（1－u^2）′（1＋u^2）－（1－u^2）（1＋u^2）′］/（1＋u^2）^2｝du
＝－4［u/（1＋u^2）^2］du.
∴∫（1/x）√［（1－x）/（1＋x）］dx
＝－4∫［（1＋u^2）/（1－u^2）］u［u/（1＋u^2）^2］du
＝－4∫｛u^2/［（1＋u^2）（1－u^2）］｝du
＝2∫［1/（1＋u^2）］du－2∫［1/（1－u^2）］du
＝2arctanu－∫［1/（1－u）］du－∫［1/（1＋u）］du
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－u｜－ln｜1＋u｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－√［（1－x）/（1＋x）］｜
－ln｜1＋√［（1－x）/（1＋x）］｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜
－ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜＋C.
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