抛物线求解！

平面直角坐标XY中（如图），已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三点，（1）求抛物线的解析式，（2）若点M为抛物线上一动点，切属于第一象限内，设▷AMB的面积为S，试求S的最大面积

(1)
A C为抛物线与x轴交点
设抛物线为y=a(x-4)(x+2)
代入B
4=-8a a=-1/2
y=-(x-4)(x+2)/2=-(x²-2x-8)/2
(2)
AB方程y=-x+4
与AB平行线L方程y=-x+b
L与抛物线相切时三角形面积最大
L代入抛物线
-x+b=-(x²-2x-8)/2
2x-2b=x²-2x-8
x²-4x-8+2b=0
差别式16-4(-8+2b)=0
16+32-8b=0
b=6
L:y=-x+6
平行线的距离=(6-4)√2/2=√2/2
AB距离=4√2
三角形ABM最大面积=4

解：可运用点差法＋第二定义。设a(x1,y1)，b(x2,y2),ab中点m(xo,yo),则x1+x2=2xo,y1+y2=2yo，a,b在曲线上有y1^2=2px1,y2^2=2px2,两式相减得直线ab斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)=p/yo,从而易得其垂直平分线方程为：y=-(yo/p)(x-xo)+yo，(注意到yo!=0)且过定点q(6,0)，代入得到xo=6-p,由抛物线第二定义得：af=x1+p/2,bf=x2+p/2，于是af+bf=x1+x2+p=2xo+p=2(6-p)+p=8,解得p=4,可得抛物线方程为y^2=8x，完毕！