如何证明有界发散数列必有两个收敛于不同值的子列

如何证明有界发散数列必有两个收敛于不同值的子列

记这个数列为{x[n]},且|x[n]|N使得|x[n]-a|>=e
也就是存在数列{x[n[m]]},使得|x[n[m]]-a|>=e,即x[n[m]]>=a+e或x[n[m]]=a+e或所有y[n]=a+e,则y[n]∈[a+e,M]有界,所以y[n]有收敛子列z[n]（这个也是x[n]的子列）,且极限>=a+e>a

误的，通过不断去掉收敛子列的方式，并不能保证找到新的收敛于不同结果的子列，即无论抽多少次，都有可能是a=b，这样的“找”的方式是不对的，因为抽取收敛子列是可能存在根本抽不尽同一结果子列的情况，有限次的抽取得到同一收敛结果的不同子列，既不能证实原数列收敛，也不能证伪，以上证明是错误的，请提问者注意。正确的方式有两种，一种是定义直接证明，有界发散数列其上下极限必不相等，则立得存在两不同结果收敛子列。另一种是构造性的证明，根据发散的定义，在有界基础上，逐个选取两个数列的对应每两项，保证其始终差大于给定的固定大小。如果能够逐项无穷选择下去，就产生两个收敛于不同结果的子列，得证！