数学关于数列的题

已知Sn单位数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=n的平方×an，求数列{an}的通项公式

 

求正确过程~~~

a n =S n - S n-1
=>a n= n^2* an -(n-1)^2 *an-1
an   / an-1=(n-1)/ n+1)
所以
an-1 / an-2=(n-2)/ n)
an-2 / an-3=(n-3)/ n-1)
an-3  /an-4=(n-5)/ n-3)
······
a3   / a2  = 2/ 4
a2   / a1  = 1/ 3 
全部相乘得
an /a1=2/（n（n+1））
所以an=2/（n（n+1））

Sn=n^2*an

S(n+1)=(n+1)^2*a(n+1)

想减

a(N+1)=(n+1)^2*a(n+1)-n^2*an

n^2*an=(n^2+2n)*a(n+1)

a(n+1)/an=n^2/(n^2+2n)=n/(n+2)

a1=1,a2=1/3,a3=1/6,a4=1/10...

猜想an=2/n(n+1)

n=1成立

假设n=k也成立，那么ak=2/(k+1)k

a(k+1)=k/(k+2)*2/k*(k+1)=2/(k+1)*(k+2)

满足猜想

所以an=2/n(n+1)