已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=52，对于任意非零实数x，总有f（x）＞2．且对于任意实数x、y，总有f（x

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=

5

2

（1）令x=1，y=0，∴f（1）f（0）=f（1）+f（1），
又f（1）=
5
2，∴f（0）=2．
令x=0，得f（0）f（y）=f（y）+f（-y），即2f（y）=f（y）+f（-y），
∴f（y）=f（-y）对任意的实数y总成立，
∴f（x）为偶函数；
（2）结论：a_n＜a_n+1．
证明：∵x≠0时，f（x）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），
即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y）
∴令x=1，y=n，有f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1），
则f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1）＞f（n-1）-f（n-2）＞…＞f（1）-f（0）＞0．
∴a_n＜a_n+1．
（3）结论：f（a）＜f（b）．
证明：∵x≠0时，f（x）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y）
∴令y=kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]-f（kx）＞f（kx）-f[（k-1）x]，
则f[（k+1）x]-f（kx）＞f（kx）-f[（k-1）x]＞…＞f（x）-f（0）＞0
∴对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立．
∴对于m，n为正整数，若n＜m，则有f（nx）＜f[（n-1）x]＜…＜f（mx）成立．
∵a，b为有理数，所以可设|a|=
q1
p1，|b|=
q2
p2，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，
则|a|=
q1p2
p1p2，|b|=
p1q2
p1p2，令x=
1
p1p2，t=q₁p₂，s=p₁q₂，则t，s为正整数．
∵|a|＜|b|，∴t＜s，∴f（tx）＜f（sx），即f（|a|）＜f（|b|）．
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|a|）=f（a），f（|b|）=f（b），
∴f（a）＜f（b）．