等差数列{a n } 的前n项的和为S n ，且S 5 =45，S 6 =60．（1）求{a n } 的通项公式；（2）若数列{b n }

等差数列{a n } 的前n项的和为S n ，且S 5 =45，S 6 =60．（1）求{a n } 的通项公式；（2）若数列{b n } 满足b n -b n =a n-1 （n?N * ），且b 1 =3，设数列 { 1 b n } 的前n项和为T n ．求证：T n ＜ 3 4 ．

（1）a 6 =S 6 -S 5 =15，由 S 6 =
( a 1 + a 6 )×6
2 =60，
解得a 1 =5，又∵d=
a 6 - a 1
6-1 =2，
所以a n =2n+3．…4
（2）证明：∵b 2 -b 1 =a 1 ，
b 3 -b 2 =a 2 ，
b 4 -b 3 =a 3 ，
…
b n -b n-1 =a n-1 ，
叠加得 b n - b 1 =
( a 1 + a n-1 )(n-1)
2 =
(5+2n+1)(n-1)
2 ，
所以 b n = n 2 +2n ．…（9分）

∴
1
b n =
1
n 2 +2n =
1
2 [
1
n -
1
n+2 ] ，
∴ T n =
1
2 (1-
1
3 +
1
2 -
1
4 +
1
3 -
1
5 +…+
1
n -
1
n+2 )
=
1
2 (
3
2 -
1
n+1 -
1
n+2 )
=
3
4 -
1
2 (
1
n+1 +
1
n+2 )＜
3
4 ．…（12分）

（1）由题意得 因为{a n }是等差数列 所以当n+m=k+l时则a n +a m =a k +a l 所以s 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =2（a 1 +a 4 ）=16 由∵a 4 =7 ∴a 1 =1 ∴d=2 所以数列{a n }的通项公式是a n =2n-1． （2）由（1）得a n =2n-1 ∴ 1 a n a n+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) 所以 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a 2007 a 2008 = 1 2 (1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 4011 - 1 4013 + 1 4013 - 1 4015 ) = 1 2 (1- 1 4015 ) = 2007 4015 ∴ 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a 2007 a 2008 的值是 2007 4015 ．