已知函数f(x)=x²＋a㏑x 若函数g(x)=f(x)+2／x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围？

已知函数f(x)=x²＋a㏑x 若函数g(x)=f(x)+2／x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围？

f(x)=x²＋a㏑x
g(x)=f(x)+2／x
=x²+alnx+2/x
g'(x)=2x+a/x-2/x²
∵g（x)在[1，4]上是减函数
∴x∈[1,4],g'(x)≤0恒成立
即2x+a/x-2/x²≤0
a/x≤2/x²-2x
a≤2/x-2x²恒成立
设h(x)=2/x-2x²，x∈[1,4]
需a≤h(x)min
h'(x)=-2/x²-4x<0恒成立
∴h(x)在[1,4]上为减函数
∴h(x)min=h(4)=2/4-2×4²=-31/2
∴a≤-31/2
实数a的取值范围a≤-31/2

由题意可得g(x)=f(x)+2/x=x^2+a㏑x+2/x 则可得g'(x)=2x+a/x-2/x²=(2x^3 +ax-2)/x^2 令h(x)=2x^3 +ax-2,则h(x)在【1，4】上值恒小于或等于0 且h'(x)=6x^2+a 则当a<-96时，h'(x)在【1，4】上值恒小于0，则h(x)在【1，4】上为减函数，此时只需h(1)≤0即可,即         a≤0     当a>-6时，h'(x)在【1，4】上值恒大于0,则h(x)在【1，4】上为增函数，此时只需h(4)≤0即可,即            a≤-83/2     当-96≥a≤-6时，h'(x)在【1，4】上先递减后递增，此时a为负数，则h(x)在【1，4】上为增函               数，只需h(4)≤0即可,即a≤-83/2 综上所述a的取值范围为a≤-83/2 过程就是这样，计算上可能会错，但方法是对的。