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设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明:逆矩阵A^-1的每个元素

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解决时间 2021-02-17 12:05
设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明:逆矩阵A^-1的每个元素
最佳答案
对A做LU分解,用归纳法容易证明L和U具有同样的符号结构(这种矩阵叫M-矩阵),即L和U的对角元为正数、非对角元为负数(非零的部分)、顺序主子式大于零.于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆为正数的三角矩阵,A^{-1}=U^{-1}L^{-1}是正矩阵.
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