已知椭圆x^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左焦点为F,左右顶点分别为A、C,上顶点为B,过F,B,C作圆P，其中圆心P的坐标为(m,n)

(1)求当m+n>0时，椭圆离心率的取值范围；

(2)直线AB能否和圆P相切，证明你的结论。

1，利用几何知识简便求解。设过A且与AF垂直的光线与准线交点为B，则AB⊥AF因为反射光线与直线AF平行，所以入射光线与反射光线垂直，所以入射角为45°，所以∠AFO=45°，即c=b，即离心率e=c/a=√2/2。2，A(0,b)、F(-c,0)，由1知AB的方程为y=-x+b，所以B(a^2/c,b-c^2/a)，由AF⊥AB知圆心O'为F、B中点，即O到直线3x-y+3=0的距离是|FB|/2，由此列出关系式，|3*(a^2/c-c)/2-(b-a^2/c)/2+3|/√10=(1/2)√[(b-a^2/c)^2+(a^2/c+c)]将c=b及a=√2b代入可得|2b+3|=5b，所以b=1，所以椭圆方程为x^2/2+y^1=1。

直线AB与⊙P不能相切．

如果直线AB与⊙P相切，

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，

所以直线AB与⊙P不能相切．

分析：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．

(1)因为e=c/a,a=1,c=e,则F（-e，0），B(0,b),C(1,0) 由p点到三点距离相等：（m+e）2+n2=m2+(n-b)2=（m-1）2+n2 可以求得m=(1-e)/2,n=(b2-e)/(2b) 由m+n>0,最后可以求得e<0.5 (2)如果AB与圆P相切，则切点必是B，则直线PB与AB垂直，向量AB(-1,-b),PB(m,n-b),最后可以求得e=0,即a=b,也即是说这个时候椭圆变成了圆