点到直线的距离

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

　　这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．

　　二、自主探索推导公式

多媒体显示：已知点P(x₀，y₀)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？

教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．

板书：

如何求？

学生思考回答下列想法：

思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．

教师评价：此方法思路自然．

　　教师继续提出问题：

　　(1)求线段长度可以构造图形吗？　(2)什么图形？如何构造？

　　(3)第三个顶点在什么位置？ 　 (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

　　学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．

教师根据学生提出的方案，收集思路．

思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．

思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．

思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．

　　学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．

　　（思路一）解：直线：，即

　　　　由，

（思路四）解：设，，，

，；，

由，

而

　　说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目．

　　教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？

②点P在直线上成立吗？

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

　　由此推导出点P(x₀，y₀)到直线：Ax+By+C=0距离公式：

　　　　　适用于任意点、任意直线．

教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？

思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取＝．

教师板演：

，

，由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得

　　教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．

　　三、变式训练学会应用

　　练习：

　　1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）

　　2.求点P₀(－1,2)到下列直线的距离：

　　　①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1

　　练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式．

　　练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．

　　教师强调：直线方程的一般形式．

　　例题：

　　3.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．

　　教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？

　　学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离．

　　师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．几何画板演示点和直线变化，选取点和直线．学生自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．

　　解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x₀，y₀)，则2 x₀－7 y₀－6=0，点P(x₀，y₀)到直线2x－7y＋8=0的距离是．

　　教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．

　　引申思考：与两平行线间距离公式．

点(X,Y)到 直线Ax+By+C=0 的距离为

(Ax+By+C)/√(A^2+B^2)