数列求和的倒序相加，裂相相消，错位相减，分别是什么

数列求和的倒序相加，裂相相消，错位相减，分别是什么

倒序相加 就像高斯算法
一般用于等差数列求和
如1+2+3+4+....+99+100 倒过来写成100+99+98+97+...+2+1
就直接成了100个101相加 结果再除以2
这种方法使用范围比较窄 除非出现了特殊的数列
如An+A1=常数
裂项相消
这种题型一般用于等差数列连乘的情况下
如
An=1/n*(n+1) 这样An=（(n+1)-n)/n*(n+1) =1/n -1/(n+1)
An=1/n*(n+k) k为常数
给分子分母同乘k 即An=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k -n)/(n*(n+k))
=(1/k)*(1/n - 1/(n+k) )
An=1/n*(n+k)(n+2k)
k为常数
给分子分母同乘2k
即An=2k/2k*n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(n+2k - n)/n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(1/n*(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)
往后4项5项的见得就少了
对于其他裂项
如
出现（An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列
还有一种就是强行的裂项
An=n*(2^n)
设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1）+（B3-B2)+....(Bn+1 - Bn )
=Bn+1 - Bn
观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n
直接设Bn=（Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)
把2^(n+1)写成2*2^n 再把2乘进去就是
Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=（2Kn+2K+2T)2^n
An=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n
与An对比得
K=1 2K+T=0 所以T=-2
Bn=(n-2)*2^n
Sn=Bn+1 - B1 =(n-1)2^（n+1）+2

An=n*(2^n)也可以用下面的错位相减来求
但是如An=(n^2 +1)2^n 错位相减要两次很复杂 用裂项就简单了
设Bn=(kn^2 + Tn + C)2^n 再按照上述步骤走下去（高考不考）

错位相减
主要用于等比数列与等差数列想乘的情况 方法就是乘上公比 再错位
如An=1/2^n
设S=1/2 + 1/4 +1/8 + .............+1/2^n
2S=1+1/2 + 1/4 +1/8 + .............+1/2^（n-1）
错位相减得S=1-1/2^n

An=n/2^n
设S=1/2 + 2/4 + 3/8+...............n/2^n
2S= 1 + 2/2 + 3/4+...............n/2^(n-1)
错位相消后
S=（1+1/2+1/4.........+1/2^(n-1) )-n/2^n
=2- 1/2^(n-1)-n/2^n
就想起这么多了

倒序相加 用于那些一看就有明显规律那些
错位想减 用于那些同项中同时有等差等比的那些数列
裂项相消 举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解Sn。裂项相消法能达到化繁为简的效果。求Sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。