数学分析中连续函数的零点及其极限

证明第二问：
我们说必有Cn＜1
若不然,假设Cn≥1
则有
1=(Cn)^n+ Cn≥1+1=2
这便说明了Cn有上界.
下面我们再来证明它严格单调增,即有C（n+1)＞Cn
若不然,假设
C（n+1)≤Cn
再考虑到Cn＜1,便有
1=[C（n+1)]^（n+1）+C（n+1)＜(Cn)^n+ Cn=1
至此,我们证明了Cn是单调增有上界的.
从而当n→∞时,Cn收敛.
下面我们来证明n→∞时,Cn→1
我们数列极限的定义来证明.
设ε是任给的正数（无妨设ε＜1）,
我们说必存在某个正整数k,使Ck＞1-ε
若不然,假设对所有n,都有Cn≤1-ε
那么易知n→∞时,（Cn）^n→0,
即存在正整数s,使当n＞s时,恒有（Cn）^n＜0.5ε
从而n＞s时,
1=(Cn)^n+ Cn＜0.5ε+1-ε=1-0.5ε
矛盾.
从而必存在某个正整数k,使Ck＞1-ε.
再由Cn的严格单调增,可知
当n＞k时,Cn＞Ck＞1-ε
这就是说,当n＞k时,
0＜1-Cn＜ε
至此,我就用数列极限的定义,证明了当n→∞时,Cn→1.
完.
唉,一路下来,全是反证法.