如图,已知∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB与P，试说明：BP^2=AP^2+BC^2.

已知∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于P,试说明BP的平方=AP的平方+BC的平方

证明：连接BM

∵MP⊥AB

则△BPM和△APM为直角三角形

在Rt△BMP、Rt△APM和Rt△BCM中，

根据勾股定理有：

PB²=BM²-MP²，MP²=AM²-AP²，BM²=BC²+CM²

∴BP²=(BC²+CM²)-(AM²-AP²)=BC²+CM²-AM²+AP²

∵AM=CM，则CM²-AM²=0

∴BP²=AP²+BC²

联接BM两点。

则：Rt△BCM中由勾股定理得：BC^2+CM^2=BM^2

Rt△MPA中由勾股定理得：MP^2+PA^2=MA^2

由CM=MA代入上面两个式子：

BC^2+MP^2+PA^2=BM^2

在Rt△BPM中，BP^2+MP^2=BM^2，代入上面得式子得

BC^2+MP^2+PA^2=BP^2+MP^2

则有

BC^2+PA^2=BP^2