ZF公理系统的公理化集合论

ZF公理系统的公理化集合论

(1)外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等 的。
(2)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”
也就是说：若A是一个集合，那么可以断定，B={x∈A|P（x）}也是一个集合。
(3)无序对公理：对任意集合X,Y，存在集合Z，使得X,Y是它仅有的元素。
也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。
(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。
也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。
(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。
也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）
也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。
(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统
(9)选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合C，使对所给的族中的每个集合X，集合X与C的交恰好只含一个元素。