积分根号下(4+x平方) 怎么算

积分根号下(4+x平方) 怎么算

这个有公式的。
具体发图上来。。

设x=tan t ,原式可以化为 积分4cost dt

令x=2tanu，√(4+x²)=2secu，dx=2sec²udu
∫ √(4+x²) dx
=4∫ sec³u du
下面计算：
∫ sec³u du
=∫ secu d(tanu)
=secutanu-∫ tan²usecu du
=secutanu-∫ (sec²u-1)secu du
=secutanu-∫ sec³u du+∫ secu du
=secutanu-∫ sec³u du+ln|secu+tanu|
将-∫ sec³u du移到左边与左边合并然后除以系数
∫ sec³u du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C1
=(1/8)x√(4+x²)+(1/2)ln|√(4+x²)+x|+C

因此原式=4∫ sec³u du=(1/2)x√(4+x²)+2ln|√(4+x²)+x|+C

∫√(4+x^2) dx
令x=2tant，那么dx=2(sec)^2 dt
∫√(4+x^2) dx=∫√[(4+4(tant)^2]*2(sec)^2 dt
=4∫(sect)^3 dt
=4∫sect d(tant)
=4sect*tant-4∫tant d(sect)
=4sect*tant-4∫tant*(sect*tant) dt
=4sect*tant-4∫sect*[(sect)^2-1] dt
=4sect*tant-4∫(sect)^3 dt+4∫sect dt
=4sect*tant+4ln|sect+tant|-4∫(sect)^3 dt
即4∫(sect)^3 dt=4sect*tant+4ln|sect+tant|-4∫(sect)^3 dt
∴8∫(sect)^3 dt=4sect*tant+4ln|sect+tant|
∴4∫(sect)^3 dt=2*sect*tant+2*ln|sect+tant|
即∫√(4+x^2) dx=2*sect*tant+2*ln|sect+tant|+C
=2*{[√(4+x^2)]/2}*x/2+2*ln|{[√(4+x^2)]/2}+x/2|+C
=1/2*x√(4+x^2)+2ln|√(4+x^2)+x|-2ln2+C
=1/2*x√(4+x^2)+2ln|x+√(4+x^2)|+C'