二重积分!∫∫|x|+|y| dxdy,其中D={(x,y)||x|+|y|≦1}
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-04-28 15:17
- 提问者网友:趣果有间
- 2021-04-28 10:56
二重积分!∫∫|x|+|y| dxdy,其中D={(x,y)||x|+|y|≦1}
最佳答案
- 五星知识达人网友:冷風如刀
- 2021-04-28 11:19
追问答案是4/3啊。。。懂了,你没乘4追答哦,最后忘了,其他无误
全部回答
- 1楼网友:封刀令
- 2021-04-28 12:30
此题利用对称法进行求解,结果是4/3
分析:由于本题积分区域关于x轴和y轴均对称,所以原积分可以写成在第一象限内4倍的形式,记∫∫[D]f(x,y)dxdy=4∫∫[D1]f(x,y)dxdy
其中D1={(x,y)|x+y≦1,x≥0,y≥0},然后在第一象限内利用累次积分对原函数积分即可。
具体计算过程如下:
∫∫[D]f(x,y)dxdy
=4∫∫[D1]f(x,y)dxdy
=4∫∫[D1](x+y) dxdy
=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy
=4∫[0→1][x(1-x)+1/2(1-x)²]dx
=4∫[0→1](-1/2x²+1/2)dx
=4*(-1/6x³+1/2x)|[0→1]
=4/3
说明:当出现绝对值时,应首先考虑去掉绝对值;积分区域对称时,应将原积分转化成易于计算的区间内的倍数关系。
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