不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f'(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间？

不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f'(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间？

令f(x)=0则x=1,2,3,4 ∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0

又f(x)在区间［1，2］上连续，在区间〔1，2〕上可导，f(1)=f(2)=0

由罗尔定理可知：

方程f'(x)=0在区间（1，2）至少存在一个实根

同理可知：

方程f'(x)=0分别在区间（2，3）（3，4）都至少存在一个实根

又f'(x)=0为三次方程，其根至多三个

∴f'(x)=0有三个实根，其区间分别是（1，2），（2，3），（3，4）

导数的实根即导数等于0的x值 显然f(x)有4个实根，即1 2 3 4

由微分中值定理 在（1，2）中存在a使f'(a)=[f(1)-f(2)]/1=0 同理在(2,3),(3,4)中…… 所以f(x)的导数有4-1=3个实根

如要粗略判断，可画出f(x)的草图，根据单调性可知，f'(x)=0有3个实根，所在区间为（1，2），（2，3）（3，4）。