【242dy】求曲线积分∫L(x y)^2dx-(x^2 y^2)dy其中L是以A(11....

【242dy】求曲线积分∫L(x y)^2dx-(x^2 y^2)dy其中L是以A(11....

【答案】 围成D的三条直线分别是
　　AB：y = x/2 + 1/2
　　BC：y = - 3x + 11
　　CA：y = 4x - 3
　　假设L是逆时针方向行走的.用格林公式：
　　P = (x + y)²、P'y = 2(x + y) = 2x + 2y
　　Q = (- x² - y²)、Q'x = - 2x
　　Q'x - P'y = - 2x - 2x - 2y = - 4x - 2y = - 2(2x + y)
　　∮L (x + y)² dx - (x² + y²) dy
　　= - 2∫∫ (2x + y) dxdy
　　= - 2[∫(1→2) dx ∫(x/2 + 1/2→4x - 3) (2x + y) dy + ∫(2→3) dx ∫(x/2 + 1/2→- 3x + 11) (2x + y) dy]
　　= - 2[(7/8)∫(1→2) (17x² - 22x + 5) dx - (7/8)∫(2→3) (3x² + 14x - 69) dx]
　　= - 2[(7/8)(35/3) - (7/8)(- 15)]
　　= - 140/3
　　普通方法：
　　AB：y = x/2 + 1/2、dy = 1/2 dx、x：1→3
　　BC：y = - 3x + 11、dy = - 3 dx、x：3→2
　　CA：y = 4x - 3、dy = 4 dx、x：2→1
　　∫AB = ∫(1→3) {(x + x/2 + 1/2)² - [x² + (x/2 + 1/2)²](1/2)} dx
　　= ∫(1→3) (13x²/8 + 5x/4 + 1/8) dx
　　= 58/3
　　∫BC = ∫(3→2) {(x - 3x + 11)² - [x² + (- 3x + 11)²](- 3)} dx
　　= ∫(3→2) (34x² - 242x + 484) dx
　　= - 283/3
　　∫CA = ∫(2→1) {(x + 4x - 3)² - [x² + (4x - 3)²](4)} dx
　　= ∫(2→1) (- 43x² + 66x - 27) dx
　　= 85/3
　　所以∮L = ∫AB + ∫BC + ∫CA = - 140/3
　　逆时针是- 140/3
　　顺时针是140/3

对的，就是这个意思