在△ABC中AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC、AB于M、N。求证:CM=2BM

在△ABC中AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC、AB于M、N。求证:CM=2BM

证明：

连接AM

∵AB=AC,∠BAC=120

∴∠B=∠C=30

∵MN垂直平分AB

∴MB=MA[垂直平分线上的点到线段两端的距离相等]

∴△ABM是等腰三角形

∴∠B=∠MAB=30

∴∠CAM=∠BAC-∠MAB=10-30=90

∴△ACM是直径三角形

∴AM=0.5CM[直角三角形里，30°所对的直角比恩等于斜边一半]

∴BM=0.5CM

即CM=2BM

连接AM， 由于MN是AB的中垂线，因此，BM=AM，角BAM=角B 且因AB=AC，角B=角C=(180-120)/2度=30度，故角MAC=（120-30）度=90度。 在直角三角形MAC中利用角MAC=30度得，CM=2AM. 因此，CM=2BM.