数学分析题：如何证明{x∧n}收敛于0，但不一致收敛于0。求数分大神解答

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解决时间 2021-04-27 19:16

提问者网友：無理詩人
2021-04-26 20:41

最佳答案

五星知识达人网友：第四晚心情
2021-04-26 22:01

x的绝对值<1时，收敛于0
而对于x在区间（-1,1）内，函数列{x∧n}一致收敛到0，需要对于任意给定的正实数ε，都存在一个只与ε有关与x无关的正整数N，使得对于任意的n>N以及x∈A都有|x∧n|<ε。即N>lnε/lnx，但是当x趋于0时，N趋于无穷，并没有一个固定的N，所以不一致收敛。
本质上来说，收敛的意义是逐点收敛，也就是在每个点上收敛，存在一个N，n>N时，x
^N足够接近0
而一致收敛则是在整个区间上都收敛，每个点上有一个N，一致收敛要求这个N也是有界的。
x^n不一致收敛到0，实际上就是收敛的速度不够快，没有这样一个N满足条件

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1楼网友：逐風
2021-04-26 23:05

x趋近于1的时候， lnε/lnx -> +∞

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