若双曲线x^2/a^2—y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则(b^2+1)/3a的最小值为?

若双曲线x^2/a^2—y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则(b^2+1)/3a的最小值为?

双曲线x^2/a^2—y^2/b^2=1
离心率为2，则c/a=2,c=2a
b²=c²-a²=3a²
∴(b^2+1)/(3a)
=(3a²+1)/(3a)
=a+1/(3a)
≥2√[a*1/(3a)]=2√3/3
∴(b^2+1)/(3a)最小值为2√3/3

解：由离心率为2有：(a^2+b^2)/a^2=4，故b^2=3a^2，故b^2+a/3=3a^2+1/3a=3a^2+1/6a+1/6a>=3*立方根(3*1/6*1/6)=3*立方根(1/12)，当且仅当3a^2=1/6a即a=立方根(1/18)时取等号。所以最小值为3*立方根(1/12)。