如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等份点，过B，C两点的半圆O的切线

如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等份点，过B，C两点的半圆O的切线

连接OC、OP；由于C是半圆的三等分点，那么∠BOC=120°，进而可由切线长定理求得∠POB=60°；在Rt△POB中，根据半径OB的长以及∠POB的度数，可求得PB的值，进而可由勾股定理求得AP的长．解答：解：连接OC、OP；
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC=120°；已知PC、PB都是⊙O的切线，
由切线长定理知：∠POB= ∠BOC=60°；
在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB= a；
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP= √AB*2+BP*2=√(2a)*2+(根号下3a）*2=√7a

解答： 解：过点o作od⊥bc于点d，交 bc 于点e，连接oc， 则点e是 bec 的中点，由折叠的性质可得点o为 boc 的中点， ∴s弓形bo=s弓形co， 在rt△bod中，od=de= 1 2 r=2，ob=r=4， ∴∠obd=30°， ∴∠aoc=60°， ∴s阴影=s扇形aoc= 60π×42 360 = 8π 3 ． 故答案为： 8π 3 ．