求救，高二数学问题（均值不等式｝

1.若实数a，b满足a+2b=2,求3^a+9^b的最小值。
2.直角三角形三边之和为1，求该三角形的最大面积。
3.若正实数a，b满足ab=a+b+3，求ab及a+b的取值范围。
4.若x>0，y>0，且根号x+根号y<=a根号（x+y）成立，求a的最小值

1.若实数a，b满足a+2b=2,求3^a+9^b的最小值。
2.直角三角形三边之和为1，求该三角形的最大面积。
3.若正实数a，b满足ab=a+b+3，求ab及a+b的取值范围。
4.若x>0，y>0，且√x+√y≤a√（x+y）成立，求a的最小值
解：1.利用均值不等式x²+y²≥2xy
3^a+9^b=3^a+3^2b≥2√[3^a*3^2b]
=2√[3^(a+2b)]
=6
2.设直角三角形直角边为a,b,斜边为c,则c^2=a^2+b^2
设a=csinα,b=ccosα,α∈(0,π/2);
则 a+b+c=csinα+ccosα+c=1
面积 S=1/2ab=1/2c^2sinαcosα
=1/4sin2αc^2≤1/4c^2
a+b+c=csinα+ccosα+c=1
∴c=1/(sinα+cosα+1)=1/[√2sin(α+π/4)+1]
≥1/（√2+1）
= √2-1
S=1/2ab=1/2c^2sinαcosα
=1/4sin2αc^2≤1/4c^21/4 ≤1/4（√2-1)^2
3解法一：设ab=t，则a+b=t-3。
a、b是方程x^2-(t-3)x+t=0的两根，
则判别式≥0解得t≥9(t>0)。
解法二：利用三元均值不等式，ab=3倍的3次根号下(ab*3)，两边立方解得ab≥9。
解法三：易得a=(b+3)/(b-1)>0,b>1。
故a+b=(b+3)/(b-1)=(b-1)+4/(b-1)+2,
ab=a+b+3≥9
∴ab≥9,a+b≥6
4.解：由x+y ≥（√x+√y)^2/2得
√(x+y)≥（√x+√y）/√2
∴（√x+√y）/√(x+y)≤√2
使√x+√y≤a√(x+y)(x＞0,y＞0)恒成立
即使（√x+√y）/√(x+y)≤a(x＞0,y＞0)恒成立
∴a ≥（√x+√y）/√(x+y)的最大值
∴a ≥√2，a的最小值为√2