已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量 OA +K

已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量



OA +K



OB +(2-K)



OC =



0 （k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S △BOC 表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S △BOC ：S △AOC ：S △AOB ．

（1）由



OA +K



OB +(2-K)



OC =



0 得 k



OB +(2-k)



OC =-



OA
两边平方，得k 2 +（2-k） 2 +2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得 cos(β-γ)=
2 k 2 -4k+3
2 k 2 -4k =1+
3
2( k 2 -2k)
当k∈（0，2）时，k 2 -2k∈[-1，0），
3
2( k 2 -2k) ∈(-∞，-
3
2 ] ， 1+
3
2( k 2 -2k) ∈(-∞，-
1
2 ]
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴ cos(β-γ)∈[-1，-
1
2 ]
当k=1时，cos（β-γ）取得最大值 -
1
2 ；
当 k=
1
2 或k=
3
2 时，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值 -
1
2 时，k=1
此时，



OA +



OB +



OC =



0 且



OB 与



OC 的夹角为120°．
又 |



OA |=|



OB |=|



OC | ， (



OA +



OB ) 2 =



OA 2 +



OB 2 +2



OA ?



OB =1?



OA ?



OB =-
1
2
∴



OA 与



OB 的夹角为120°．
故S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =1：1：1．

由oa+kob+(2-k)oc=0有： cosα+kcosβ+(2-k)cosγ=0 (1) sinα+ksinβ+(2-k)sinγ=0 (2) 将（1）（2）中含有α的项移到右边，得到： kcosβ+(2-k)cosγ= -cosα (3) ksinβ+(2-k)sinγ= -sinα (4) (3)、（4）两边分别平方，再左右分别相加（目的是消去α），得到： k^2+(2-k)^2+2k(2-k)(cosβcosγ+ sinβsinγ)=1 2k^2-4k+4+2k(2-k)cos（β-γ）=1 cos（β-γ）=(2k^2-4k+3)/(2k^2-4k) =1+3/(2k^2-4k) =1+1.5/[(k-1)^2-1] 又0＜k＜2 当k=1时，(k-1)^2-1最小，此时cos(β-γ)最大，cos(β-γ)=1+3/(2k^2-4k)=-0.5 任意角的余弦最小为-1，当cos(β-γ)=-1，即1+3/(2k^2-4k)=-1，此时k=1/2或3/2 综上，cos(β-γ)最大值为-0.5，此时k=1 最小值为-1，此时k=1/2或3/2