【拉格朗日插值公式】拉格朗日插值公式的几个问题谁能详细讲解下拉格朗日插值公式的...

【拉格朗日插值公式】拉格朗日插值公式的几个问题谁能详细讲解下拉格朗日插值公式的...

【答案】 一．线性插值(一次插值）
　　已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ),yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ),其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点.
　　1.插值函数和插值基函数
　　由直线的点斜式公式可知：
　　把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
　　记
　　并称它们为一次插值基函数.该基函数的特点如下表：
　　从而
　　P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
　　此形式称之为拉格朗日型插值多项式.其中,插值基函数与yk 、yk+1 无关,而由插值结点xk 、xk+1 所决定.一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .
　　例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值.
　　f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设
　　x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
　　则插值基函数为：
　　于是,拉格朗日型一次插值多项式为:
　　故 :
　　即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).
　　二．二次插值多项式
　　已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ),求一个次数不超过二次的多项式P2 (x),使其满足,
　　P2 (xk-1 )=yk-1 ,P2 (xk )=yk ,P2 (xk+1 )=yk+1 .
　　其几何意义为:已知平面上的三个点
　　(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
　　求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点.
　　1.插值基本多项式
　　有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式,要求满足：
　　(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：
　　因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0,故有因子(x-xk )(x-xk+1 ),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设
　　lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
　　又因为
　　lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
　　得
　　从而
　　同理得
　　基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”).
　　2.拉格朗日型二次插值多项式
　　由前述,拉格朗日型二次插值多项式:
　　P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
　　是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
　　P2 (xi )=yi ,(i=k-1,k,k+1) .
　　例2 已知：
　　xi 10 15 20
　　yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
　　利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值.
　　设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:
　　故:
　　所以
　　7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了.
　　三、拉格朗日型n次插值多项式
　　已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为
　　y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:
　　Pn (xi )=yi ,(i=0,1,…,n),
　　即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式.
　　1.插值基函数
　　过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
　　l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
　　每个插值基本多项式li (x)满足：
　　(1) li (x)是n次多项式;
　　(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i).
　　由于li (xk )=0 ,(k≠i),故有因子:
　　(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
　　因其已经是n次多项式,故而仅相差一个常数因子.令:
　　li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
　　由li (xi )=1,可以定出a,进而得到：
　　2.n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)
　　Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn .即:
　　Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
　　从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
　　Pn (xi )=yi ,(i=0,1,2,…,n).
　　例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式.
　　解 用4次插值多项式对5个点插值.
　　所以
　　四、拉格朗日插值多项式的截断误差
　　我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x),其截断误差记作
　　Rn (x)=f(x)-Pn (x)
　　当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：
　　定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续,
　　y(n+1) = f(n+1) (x)
　　在(a,b)上存在；插值结点为:
　　a≤x0

这个问题的回答的对