数学问题撒？

函数f(X)的定义域为D=｛x|x≠0｝。且满足对于任意实数的X,Y属于D，有f（xy）=f（x)+f(y)

(1)判断f（x）的奇偶性并证明他

（2）若f（4）=1，f（3x+1)+f(2x-6)≤3，且f（x）在（0到正无穷）上是增函数，求x的取值范围

证明：

（1）首先函数f(X)为一元函数。由条件对于任意实数的X,Y属于D，

有f（xy）=f（x)+f(y)，而D=｛x|x≠0｝，从而

取x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，因此f(1)=0；

再取x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，因为f(1)=0，从而f(-1)=0；

对于任意x≠0，取y=-1，则有f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，从而f(x)为偶函数。

（2）由于f（x）在（0到正无穷）上是增函数，从而由增函数定义

任给0<x≤y，有f(x)≤f(y)；

由条件f（xy）=f（x)+f(y)，得f(3x+1)+f(2x-6)=f((3x+1)*(2x-6))=f(6x^2-16x-6)；

再由条件f（4）=1，从而f(16)=f(4*4)=f(4)+f(4)=2，f(64)=f(16*4)=f(16)+f(4)=2+1=3；

因此若f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)，即f(6x^2-16x-6)≤3=f(64)，由增函数定义可知

6x^2-16x-6≤64，由此解得-7/3≤x≤5，且x≠0，即为x的取值范围。

(1)

解：

令：x=x，y=x(x≠0) 则：

f(x)=f(x)+f(x)

所以f(x)=0

又令x=－x，y=－x(x≠0)

所以f(x)=f(－x)+f(－x)

又因为f（x)=0

所以f(－X)=o

所以f(x)=f(－x)

所以f（x）为偶函数

(2)

目前不知道

(1)f(x)为偶函数

证明：由已知条件得 f(-x)+f(-x)=f[(-x)*(-x)]=f(x^2) f(x)+f(x)=f(x*x)= f(x^2) 所以 f(-x)+f(-x)= f(x)+f(x) 即2f(-x)=2f(x)， 所以f(-x)=f(x) f(x)为偶函数 (2) 因为f（4）＝1 所以3=1+1+1= f（4）+ f（4）+ f（4）＝f（4*4）+ f（4）＝f（16）+ f（4）＝f（16*4）＝f（64） 由f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3得 f（3x＋1）＋f（2x－6）≤f(64) f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(64) 前面已证原函数为偶函数，又已知f（x）在（0，＋∞）上为增函数， 可知f（x）在（-∞，0）上为减函数，所以 ①当(3x＋1) *(2x－6)>0时，(3x＋1) *(2x－6)≤64，解不等式组得-7/3≤x<-1/3或3<x≤5； ②当(3x＋1) *(2x－6)<0时，由f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(64)得f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(-64)，所以(3x＋1) *(2x－6)≥-64，解不等式组得-1/3<x<3 两种情况取并集得x取值范围为 -7/3≤x≤5且x≠-1/3、x≠3