一个正三角形的顶点在抛物线上（抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴），其中一个顶点在原点，三角形的面积是四十八倍根三，求抛物线方程

一个正三角形的顶点在抛物线上（抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴），其中一个顶点在原点，三角形的面积是四十八倍根三，求抛物线方程

首先抛物线可能关于x轴对称，也可能关于y轴对称。不过求法都差不多。假设关于x轴对称，则设抛物线方程为：y^2=2px。则有：抛物线的焦点为(p/2,0),准线方程为x=-p/2。

因为正三角形一个顶点为O(0,0)，则另外两个顶点分别为：A(y^2/2p,y),B(y^2/2p,-y)。则直线AO的斜率为2p/y，直线BO的斜率为-2p/y，则AO旋转到BO的夹角为60°，根据夹角公式有：

则有：tan60°=(-2p/y-2p/y)/(1-4p^2/y^2)，即2py/(4p^2-1)=√3。即：y=(4p^2-1)√3/2p。

而三角形AOB的面积为：0.5*AO^2*sin60°=48√3。可得：AO^2=192。即y^2+y^4/4p^2=192。AB^2=192.

可得y^2=48。

故有：y^4+4p^2y^2-768p^2=0。则p^2=4。故p=±2。

所以抛物线方程为：x^2=±4y。同理抛物线方程也可以为：y^2=±4x。

y=x^2/16

y=-x^2/16