设函数F(x)=x^3+mx^2+nx+p在(负无穷,0)是增函数，在(0,2]上是减函数，x=2是方程F(x)=0的一个根

（1）求n的值

（2）求证F(1)>2

1

因为F'(x)=3x²+2mx+n

当F'(x)>0时，函数F(x)是增函数

当F'(x)<0时，函数F(x)是减函数

而由条件知道，x=0是函数F(x)的极小值点，所以有F'(0)=0

解得n=0

2

F(x)=x^3+mx²+p

F(1)=1+p+m

因为F(0)>F(2)=0即有p>0

当F'(x)>0时，函数F(x)是增函数

所以 x(3x+2m)>0

当m<0时，x∈(-∞，0)∪(-2m/3，∞)且-2m/3>=2

所以m∈(-∞，-3]

当m>0时，不满足题目要求。

当F'(x)<0时，函数F(x)是减函数

当m<0时，x∈(0，-2m/3)且-2m/3<=2

所以m∈[-3，0)

当m>0时，不满足题目要求。

所以知道m=-3

而x=2是F(x)=0的一个根

所以8+p-12=0，故p=4

所以F(1)=1+m+p=1-3+4=2

即有F(1)=2