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在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的

答案:1  悬赏:50  手机版
解决时间 2021-04-16 14:40
在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的面积
不好意思 应是角C等于90度,角B等于30度
最佳答案

解法一:过点P,分别作出关地AC,BC,AB的对称点D,E,F.
由∠ACB=90度可知D,C,E三点在同一条直线上,DE=2PC=4
由∠ABC=30度可知△BFE为有一个角为60度的等腰三角形,所以它为边长为5的等边三角形
由∠CAB=60度可知△AFD为顶角为120度的等腰三角形,由AF=AD=AP=√3可求出DF=3
在△EFD中,DF=3,DE=4,EF=5可知△EFD为直角形.
所以S(△ABC)=〔S(△AFD)+S(△EFD)+S(△EFB)〕/2
=(3*√3+3*4+5*5√3/2)/4
=(6+7√3)/2
解法二:从p点做AC的垂线,垂足为M,做BC的垂线,垂足为M,设PM=x,AM=y.AC=a
则有:AB=2a,BC=√3a.
根据题意△AMP,△PNC,△PNB都为直角三角形,根据勾股定理可有以下几个等式:
x^2+y^2=3.(1)
x^2+(a-y)^2=4.(2)
(a-y)^2+(√3a-x)^2=25.(3)
(2)-(1)得到:(a-y)^2-y^2=1
解得:y=(a^2+1)/2a.(4)
(3)-(2得到:(√3a-x)^2-x^2=2
解得:x=√3(a^2-7)/2a.(5)
把(4)和(5)代入到(1)得到:
〔√3(a^2-7)/2a〕^2+〔(a^2+1)/2a〕^2=3
化简整理后可得:
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.
或a^2=7-2√3.(这时斜边等于2a,斜边的平方等于4a^2<25,也就是说这时斜边小于5,因此不可能在这个三角形内部做出一条边长为5的线段,所以应当舍去)
S(△ABC)=√3a^2/2=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.


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