定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒

定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式
1
n f(ax2)?f(x)＞
1
n f(a2x)?f(a)，（n是一个给定的自然数，a＜0）

（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．
（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1）
又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）（2）
由（1）（2）得f（x1）＞f（x2），
根据函数单调性的定义知f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3）．
要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（-3）≤6，
又∵f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]
=-[f（1）+f（1）+f（1）]=-3f（1），∴f（1）≥-2．
又x＞1，f（x）＜0，∴f（1）∈[-2，0）
(3)
1
n f(ax2)?f(x)＞
1
n f(a2x)?f(a)，
∴f（ax2）-f（a2x）＞n[f（x）-f（a）]
∴f（ax2-a2x）＞nf（x-a），
由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）
∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax2-a2x＜n（x-a）．即（x-a）（ax-n）＜0，
∵a＜0，∴(x?a)(x?
n
a )＞0，
讨论：①当a＜
n
a ＜0，即a＜?



n ，解集为：{x|x＞
n
a 或x＜a}
②当a=
n
a ＜0即a＝?



n 时，原不等式解集：{x|x≠?



n }
③当
n
a ＜a＜0时，即-



n ＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜
n
a }．

（1）证明：∵对任意的x、y∈r，都有f（x+y）=f（x）+f（y）， ，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）， ∴f（0）=0． 令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0， 即f（-x）=-f（x）， ∴函数f（x）为奇函数． （2）f（x）在r上单调递减． 证明：设x1＜x2， 则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]=-f[（x2-x1）， 因为当x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，所以f[（x2-x1）＜0， 所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． 所以函数f（x）为r上的减函数． 由f（x+y）=f（x）+f（y）及f（-1）=2得，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4， f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），因为f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f（2）=4，f（2）=-4，所以f（4）=-8． 又函数f（x）在区间[-2，4]上单调递减，所以f（4）≤f（x）≤f（-2），即-8≤f（x）≤4． 故函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]． （3）因为函数f（x）在r上是奇函数，且单调递减， 所以不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0?f（t2-2kt）＜-f（2t2-1）=f（1-2t2）?t2-2kt＞1-2t2， 所以对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立， 等价于t2-2kt＞1-2t2恒成立，即t∈[1，3]时2k＜3t- 1 t 恒成立， 而易知3t- 1 t 在∈[1，3]上单调递增，所以(3t? 1 t )min=3-1=2， 所以有2k＜2，解得k＜1． 所以实数k的取值范围为（-∞，1）．