狄利克雷函数为什么是处处不连续的？

狄利克雷函数为什么处处不连续？既然实数具有连续性，而有理数不连续，两个相邻有理数之间的无理数这一段不是连续的吗？这想法哪里有问题？

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为的不连续函数。
当
自变量为有理数时，；
自变量为无理数时，。
狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数

√2代表 根号2
证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程

前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数
3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数

命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题1成立

命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题2成立
命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立，命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~~ 下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数 证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z显而易见X＜Z＜YZ为有理数，命题6成立
根据命题5、6，任意有理数都不连续，任意无理数也都不连续，根据前提3，则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续。

实数的确连续。但任意两个相差无限小的无理数之间都有无限个有理数，而由狄利克雷函数定义，在这两个无理数之间，其值在0和1之间跳跃无限次，显然不连续。事实上，不但不连续，其图形也无法做出。