sinx的10次方乘以cosx的8次方在0到π下的定积分 求数学高手

sinx的10次方乘以cosx的8次方在0到π下的定积分 求数学高手

直接用倍角公式展开实在太复杂而已又容易计算错误了
不如玩玩换元法，用两次同样的换元：



最后那个Wallis公式，您自行去搜索吧，已是很普遍的化简公式。
追问不错的解法，请问还有没有更简单的方法。或者其他思路。追答有个(sinx)^m * (cosx)^n的降幂公式，也很简单的。
I_(m，n) = ∫ (sinx)^m (cosx)^n dx

= {- 1/(m + n) * (sinx)^(m - 1) (cosx)^(n + 1) + (m - 1)/(m + n) * I_(m - 2，n)
或
= {1/(m + n) * (sinx)^(m + 1) (cosx)^(n - 1) + (n - 1)/(m + n) * I_(m，n - 2)

不过都没有上面那个方法来的快速且简单，因为上面那个方法根本是利用定积分性质
通过先找到原函数再用微积分基本定理会稍微麻烦些。

积分sin^10 x *cos^8 x dx
由于sin^10 x *cos^8 x
=(sin^2x)(sinxcosx)^8
=(1-cos2x)/2(1/2sin2x)^8
=(1/2^9 )*(sin2x)^8 - (1/2^9)cos2x(sin2x)^8
原式=积分[(1/2^9 )*(sin2x)^8 - (1/2^9)cos2x(sin2x)^8]dx
=积分(1/2^9 )*(sin2x)^8 dx- 积分(1/2^9)cos2x(sin2x)^8dx
其中:
积分(1/2^9 )*(sin2x)^8 dx
sin^ dx
这么麻烦的题,只加5分,太小气了!,至少要50分.

思路:
(sin2x)^8=(sin^2(2x))^4=(1-cos4x)^4/2^4
其中(1-cos4x)^4=1-4cos4x+6cos^2(4x)-4cos^3(4x)+cos^4(4x)
其中4cos^3(4x)dx=cos^2(4x)dsin(4x)
而cos^4(4x)=(cos8x+1)^2/2^2
这样一步一步,即可