最好解答换方的方法是什么？
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解决时间 2021-03-03 16:55
- 提问者网友：几叶到寒
- 2021-03-03 02:03
最好是简单一点的．要有例题！
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒安江南
- 2021-03-03 02:54
对一道幻方问题的几种解答策略的评析
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案例 2004年元旦，我市一家书店举行了“小学生数学奥林匹克竞赛”，其中有下面一道幻方问题：
a b
c d
图1
在4×4格中(图1略)，每行、每列、对角线各四个数的和都相等，其中a+b=2000，c+d=2001，这十六个数的和是________。
我校许多学生都得到了正确答案。下面是他们所述的几种解答策略：
a e f b
g h
i j
c k m d
图2
学生1： 我把图中的一些空格用字母表示出来(如图2)，并设每一行、列、对角线上的四个数的和是n，则
a+e+f+b=n(第一行)，
c+k+m+d=n(第四行)，
b+h+i+c=n(左下右上对角线)，
d+j+g+a=n(左上右下对角线)。
把上面四个式子相加得：2(a+b+c+d)+(e+g+i+k)+(f+h+j+m)=4n。
又因为e+g+i+k=n，f+h+j+m=n，所以有a+b+c+d=n。
根据题目已知条件a+b=2000，c+d=2001，可以得到n=2000+2001=4001，所以这十六个数的和是4×4001=16004。
学生2：刚开始我不会解答这道幻方题，但是我想到四年级的数学书上也曾出现过一道幻方题，于是我找到了书(这是公开赛，试卷可以拿回家解答)。书上这题的十六个数都是10的倍数(见图3)，为了便于观察，我把这些数都缩小了10倍，得到了图4。
10 80 100 150 1 8 10 15 0.5 4 5 7.5
140 110 50 40 14 11 5 4 7 5.5 2.5 2
70 20 160 90 7 2 16 9 3.5 1 8 4.5
120 130 30 60 12 13 3 6 6 6.5 1.5 3
图3 图4 图5
这时，我发现在要求问题的四个格子的数分别是1，15，12，6。1+15=16，12+6=18，16比18少2，而要求的题目中2000比2001少1，因此我又想到把图4中的各数再同时缩小2倍，这样又得到了图5。
这时0.5+7.5=8，6+3=9，8比9少1。又因为2000-8=1992，1992÷2=996，所以只要把图5中的各数都加上996，就得到题目要求的幻方(见图6)。于是我们就很容易求出每行、列、对角线上的四个数的和都等于996.5+1000+1001+1003.5=4001，所以这十六个数的和就是4×4001=16004。
996.5 1000 1001 1003.5
1003 1001.5 998.5 998
999.5 997 1004 1000.5
1002 1002.5 997.5 999
图6
学生3：因为要求每一行、每一列、对角线上的四个数的和都相等，而且题目已经告诉了我们第一行里2个字母a和b，第四行里2个字母c和d，于是我尝试把第一行里另外2个字母看作c和d，把第四行里另外2个字母看作a和b，填入格子里(见图7)。再设法填出其余空格上的字母，最后我得到了图8，图8完全符合题目的要求。从图8我们可以很轻松地得到每一行、每一列、对角线上的四个数的和都等于a+b+c+d，即等于2000+2001=4001，因此这十六个数的和就是4×4001=16004。
a d c b a d c b
b c d a
d a b c
c b a d c b a d
图7 图8
学生4：我看到题目已知a+b=2000，c+d=2001，就想到把a、b、c都看作1000，把d看作1001填到方格里。并由此猜想每一行、每一列和对角线上都有3个1000，1个1001，经过尝试，我得到了图9，图9完全符合题目要求。所以这十六个数的和等于12×1000+4×1001=16004。
1000 1001 1000 1000
1000 1000 1001 1000
1001 1000 1000 1000
1000 1000 1000 1001
图9
评析 在新的数学课程标准中，将解决问题的能力作为一个要的教学目标。这一点和世界各地的要求比较相似，美国的NCTM数学课程标准把解决问题的能力作为评价生的数学素质的一个重要标志。通过上述这道幻方问题的成功解决，我看到了学生在解决问题的能力方面的喜人进步，下面对这几种解答策略进行简单的评析。
第一位学生的解题策略是，运用字母来代替一些空格，通过一系列严密的逻辑推理和公式运算，最后得到正确的结论。我们知道，推理是认识和运用数学的基础，而逻辑推理是一种重要的解决问题的能力，但由于小学生受知识和水平限制，推理时往往存在不能合理地选择有用信息，推理思路混乱等现象。就拿上述问题来说，题目里存在着16个方格，10道和相同的算式，如何对这些条件进行选择是一件不容易的事情。而这位学生把握得非常好，他只选择了对推理有用的12个字母和6道算式，目标定位准确，因此推理简单明了，一气呵成。
第二位同学开始不会解答，但是联想到过去曾在书上见过此类问题，于是他找到课本，把两个问题加以比较，找出两者的区别，并成功地把所要求的问题转化成了一个已解决的问题。应用转化的必要条件是，和原问题相比转化后所得的新问题必须是较为简单的问题，或是已经解决的问题。在本题中这位学生首先把课本上的题目数据变小(第1次转化)，然后再观察发现已知问题中a+b比c+d少2，而要求的问题中a+b比c+d少1，于是他再一次把已知的问题进行转化，得a+b比c+d也少1(第2次转化)，这样就很容易写出原题目要求的幻方(第3次转化)。这种利用原有的数学知识和解题经验，把所求问题转化成已知的简单问题，是数学课程标准中反复提倡的重要思考方法，也是重要的教学目标。
第三位和第四位同学都是运用了尝试、猜测的解题策略，特别第四位同大胆地把a、b、c三个数都看作是1000，把d看作1001填入方格，使复杂的问题变得如此惊人的简单。由此可见，尝试、猜测也是一种重要的解答策略。但是，长期以来，这策略却没有得到应有的重视，甚至有人认为“尝试、猜测不过是瞎猫碰到死耗子罢了”。殊不知，尝试、猜测并不是漫无边际的乱试和瞎猜，它需要创新的灵感和丰富的想像，而这些又来自学生对过去知识技能的掌握和对所求问的理解。比如在本题中，第三同学看到第一行有a、b无c、d，第四行有c、d无a、b，于是就猜测每一行的四个数可能是a、b、c、d。第四位同学从a+b=2000，c+d=2001，2000比2001少1，就猜测把a、b、c三个数看作1000，d看作1001填入方格试一试。猜测，并不一定会一下子就能正确，所以猜测还需要有不怕失败的勇气和刻钻研的毅力。波利亚曾说，一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，会急切地想知道他的猜想正确与否。著名科学家牛顿也说过，没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。总之,我们一定要真落实课程标准中新的教学理念，充分认识数学问题的各种解答策略的重要性，只有这样我们才能够全面提高学生解决数学问题的信心和能力。
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案例 2004年元旦，我市一家书店举行了“小学生数学奥林匹克竞赛”，其中有下面一道幻方问题：
a b
c d
图1
在4×4格中(图1略)，每行、每列、对角线各四个数的和都相等，其中a+b=2000，c+d=2001，这十六个数的和是________。
我校许多学生都得到了正确答案。下面是他们所述的几种解答策略：
a e f b
g h
i j
c k m d
图2
学生1： 我把图中的一些空格用字母表示出来(如图2)，并设每一行、列、对角线上的四个数的和是n，则
a+e+f+b=n(第一行)，
c+k+m+d=n(第四行)，
b+h+i+c=n(左下右上对角线)，
d+j+g+a=n(左上右下对角线)。
把上面四个式子相加得：2(a+b+c+d)+(e+g+i+k)+(f+h+j+m)=4n。
又因为e+g+i+k=n，f+h+j+m=n，所以有a+b+c+d=n。
根据题目已知条件a+b=2000，c+d=2001，可以得到n=2000+2001=4001，所以这十六个数的和是4×4001=16004。
学生2：刚开始我不会解答这道幻方题，但是我想到四年级的数学书上也曾出现过一道幻方题，于是我找到了书(这是公开赛，试卷可以拿回家解答)。书上这题的十六个数都是10的倍数(见图3)，为了便于观察，我把这些数都缩小了10倍，得到了图4。
10 80 100 150 1 8 10 15 0.5 4 5 7.5
140 110 50 40 14 11 5 4 7 5.5 2.5 2
70 20 160 90 7 2 16 9 3.5 1 8 4.5
120 130 30 60 12 13 3 6 6 6.5 1.5 3
图3 图4 图5
这时，我发现在要求问题的四个格子的数分别是1，15，12，6。1+15=16，12+6=18，16比18少2，而要求的题目中2000比2001少1，因此我又想到把图4中的各数再同时缩小2倍，这样又得到了图5。
这时0.5+7.5=8，6+3=9，8比9少1。又因为2000-8=1992，1992÷2=996，所以只要把图5中的各数都加上996，就得到题目要求的幻方(见图6)。于是我们就很容易求出每行、列、对角线上的四个数的和都等于996.5+1000+1001+1003.5=4001，所以这十六个数的和就是4×4001=16004。
996.5 1000 1001 1003.5
1003 1001.5 998.5 998
999.5 997 1004 1000.5
1002 1002.5 997.5 999
图6
学生3：因为要求每一行、每一列、对角线上的四个数的和都相等，而且题目已经告诉了我们第一行里2个字母a和b，第四行里2个字母c和d，于是我尝试把第一行里另外2个字母看作c和d，把第四行里另外2个字母看作a和b，填入格子里(见图7)。再设法填出其余空格上的字母，最后我得到了图8，图8完全符合题目的要求。从图8我们可以很轻松地得到每一行、每一列、对角线上的四个数的和都等于a+b+c+d，即等于2000+2001=4001，因此这十六个数的和就是4×4001=16004。
a d c b a d c b
b c d a
d a b c
c b a d c b a d
图7 图8
学生4：我看到题目已知a+b=2000，c+d=2001，就想到把a、b、c都看作1000，把d看作1001填到方格里。并由此猜想每一行、每一列和对角线上都有3个1000，1个1001，经过尝试，我得到了图9，图9完全符合题目要求。所以这十六个数的和等于12×1000+4×1001=16004。
1000 1001 1000 1000
1000 1000 1001 1000
1001 1000 1000 1000
1000 1000 1000 1001
图9
评析 在新的数学课程标准中，将解决问题的能力作为一个要的教学目标。这一点和世界各地的要求比较相似，美国的NCTM数学课程标准把解决问题的能力作为评价生的数学素质的一个重要标志。通过上述这道幻方问题的成功解决，我看到了学生在解决问题的能力方面的喜人进步，下面对这几种解答策略进行简单的评析。
第一位学生的解题策略是，运用字母来代替一些空格，通过一系列严密的逻辑推理和公式运算，最后得到正确的结论。我们知道，推理是认识和运用数学的基础，而逻辑推理是一种重要的解决问题的能力，但由于小学生受知识和水平限制，推理时往往存在不能合理地选择有用信息，推理思路混乱等现象。就拿上述问题来说，题目里存在着16个方格，10道和相同的算式，如何对这些条件进行选择是一件不容易的事情。而这位学生把握得非常好，他只选择了对推理有用的12个字母和6道算式，目标定位准确，因此推理简单明了，一气呵成。
第二位同学开始不会解答，但是联想到过去曾在书上见过此类问题，于是他找到课本，把两个问题加以比较，找出两者的区别，并成功地把所要求的问题转化成了一个已解决的问题。应用转化的必要条件是，和原问题相比转化后所得的新问题必须是较为简单的问题，或是已经解决的问题。在本题中这位学生首先把课本上的题目数据变小(第1次转化)，然后再观察发现已知问题中a+b比c+d少2，而要求的问题中a+b比c+d少1，于是他再一次把已知的问题进行转化，得a+b比c+d也少1(第2次转化)，这样就很容易写出原题目要求的幻方(第3次转化)。这种利用原有的数学知识和解题经验，把所求问题转化成已知的简单问题，是数学课程标准中反复提倡的重要思考方法，也是重要的教学目标。
第三位和第四位同学都是运用了尝试、猜测的解题策略，特别第四位同大胆地把a、b、c三个数都看作是1000，把d看作1001填入方格，使复杂的问题变得如此惊人的简单。由此可见，尝试、猜测也是一种重要的解答策略。但是，长期以来，这策略却没有得到应有的重视，甚至有人认为“尝试、猜测不过是瞎猫碰到死耗子罢了”。殊不知，尝试、猜测并不是漫无边际的乱试和瞎猜，它需要创新的灵感和丰富的想像，而这些又来自学生对过去知识技能的掌握和对所求问的理解。比如在本题中，第三同学看到第一行有a、b无c、d，第四行有c、d无a、b，于是就猜测每一行的四个数可能是a、b、c、d。第四位同学从a+b=2000，c+d=2001，2000比2001少1，就猜测把a、b、c三个数看作1000，d看作1001填入方格试一试。猜测，并不一定会一下子就能正确，所以猜测还需要有不怕失败的勇气和刻钻研的毅力。波利亚曾说，一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，会急切地想知道他的猜想正确与否。著名科学家牛顿也说过，没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。总之,我们一定要真落实课程标准中新的教学理念，充分认识数学问题的各种解答策略的重要性，只有这样我们才能够全面提高学生解决数学问题的信心和能力。
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- 1楼网友：長槍戰八方
- 2021-03-03 03:09
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