向量中基底的含义

最好形象些，举个例子。

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

例一:已知基底{e1，e2}，实数x，y满足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，则x-y的值等于

解: (3X-4Y)=6, (2X-3Y)=3, 解方程组得,X=6,Y=3,则有x-y=3.

例二:已知e1,e2不共线，a=e1+2e2,b=2e1+se2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数S的取值范围是()

解：e1,e2不共线，
则a=e1+2e2,b=2e1+se2 均为非零向量
要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底
a，b应为不平行的向量 , 即a≠kb
假设a=kb , 则e1+2e2=k（2e1+se2）
e1+2e2=2ke1+ske2
所以2k=1且sk=2
解得k=1/2,S=4
所以，当a≠kb时，s≠4
即要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底，实数S的取值范围是s＜4，或s＞4

基底主要为了简化计算，将所有向量都用两个向量表示。

平面上，任意向量a（包括零向量）均可用两个非零向量（e1、e2）表示，即a=xe1+ye2（x、y为任意实数）。这就是平面向量基本定理的主要内容。这里用来表示向量a的两个非零向量e1、e2就称为向量a的一组基底。注意以下几个方面的要点： 作为基底的向量不能是零向量，即e1≠0、e2≠0（这里0指零向量） 一组基底并非一个非零向量，而是指两个非零向量 用基底e1、e2表示向量a时，实数x、y的取值是唯一的。当基底为e1、e2时，即有且只有一对实数(x,y)使得a=xe1+ye2 能表示向量a的基底不是唯一的。基底e1、e2可以将向量a表示为a=xe1+ye2，而外一组基底f1、f2也可以将向量a表示为a=mf1+nf2