设函数f（x）=-x3+3x+2，若不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为______
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解决时间 2021-04-01 03:25
- 提问者网友：你挡着我发光了
- 2021-03-31 17:34
设函数f（x）=-x3+3x+2，若不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为______
最佳答案
- 五星知识达人网友：归鹤鸣
- 2021-03-31 18:58
令x=3+2sin θ，则由-1≤sinθ≤1得，1≤x≤5，
∵f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
∴当1≤x≤5时，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，5]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）max=f（1）=4，
∴不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，只要m＞4即可．
故答案为：（4，+∞）．
∵f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
∴当1≤x≤5时，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，5]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）max=f（1）=4，
∴不等式f（3+2sin θ）＜m对任意θ∈R恒成立，只要m＞4即可．
故答案为：（4，+∞）．
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