已知mx2-2x+m-2<0,则|x|<=2时,恒成立,求m的范围

已知mx2-2x+m-2<0,则|x|<=2时,恒成立,求m的范围

原题是:已知 mx²-2x+m-2<0,且|x|≤ 2时恒成立,求m的取值范围。
已知即mx²-2x+m-2<0,在-2≤x≤2时恒成立
设f(x)=mx²-2x+m-2
必须有f(-2)=5m+2<0,即m<-2/5
当m<-2/5时
f(x)=m(x-(1/m))²+m-(1/m)-2 ,对称轴x=1/m
若-1/2≤m<-2/5, 则1/m≤-2
f(x)在-2≤x≤2时的最大值f(-2)<0
得-1/2≤m<-2/5的m全可取;
若m<-1/2,则-2<1/m<0
f(x)在-2≤x≤2时的最大值f(1/m)=m-(1/m)-2
而m<-1/2时,u=m-(1/m)随增大而增大
有f(1/m)<(-1/2)-(1/(-1/2))-2=-1/2<0
得m<-1/2的m全可取

所以 m的取值范围是:m<-2/5

希望能帮到你！

另附用导函数数求解法:

mx²-2x+m-2<0,且|x|≤ 2时恒成立,
即 m<(2x+2)/(x²+1)在x∈[-2,2]时恒成立

设f(x)=(2x+2)/(x²+1),在x∈[-2,2]时的最小值是A
则m的取值范围是:mf'(x)=-2((x+1)²-2)/(x²+1)²

x∈[-2,-1+√2]时,f'(x)≥0,f(x)在其上单增
x∈[-1+√2,2]时,f'(x)≤0,f(x)在其上单减
得A就是f(-2)和f(2)中的较小数
又f(-2)=-2/5,f(2)=6/5
A=-2/5
所以 m的取值范围是:m<-2/5