高三数学 题目

已知关于x的方程|x|/（x+3）=kx^3,有三个不同的实数解，则实数k的取值范围？

x=0时，显然成立，即其中有一解必为x=0，
设另外两解为x1，x2

易知k不为0

设f(x)=0 (x=0)
f(x)=x/(x+3) (x>0) 值域：0<f(x)<1
f(x)=-x/(x+3) (-3<x<0) 值域：f(x)>0
f(x)=-x/(x+3) (-∞<x<-3) 值域：f(x)<-1

令f'(x)为f(x)的导数，则
f'(x)=3/(x+3)^2 (x>0)
f'(x)=-3/(x+3)^2 (-3<x<0)
f'(x)=-3/(x+3)^2 (-∞<x<-3)

所以f(x)在(0,+∞)单调增，在(-3,0)单调减，在(-∞,-3)单调减

根据f(x)的“增减性”和“值域”还有“当x=0时f(x)=0”可画出f(x)的简图，

由简图可以判断k>0，若要有3解，则必有其中一解x1>0，另一解x2<-3

设g(x)=kx^3 (x属于R)

当x>0时，g(x)增得比f(x)快，很容易能看出必有一解x1

当x=-3时，g(-3)等于一负数，f(x)无限趋向于-∞，
有g(-3)>f(-3)，实际上f(-3)不存在，为了好说明才写出来

根据增减性可知
当x趋向于-∞时，g(x)趋向于-∞，f(x)趋向于-1，
有g(-∞)<f(-∞)，

根据g(-3)>f(-3)和g(-∞)<f(-∞)还有g(x)和f(x)的增减性可知当x<-3时必有一解x2

综上所述，k>0