已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,

已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F .若AE=a,EF=b,BF=c,求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根

图中G是BF与圆的交点,连接AG
因为AB是直径,所以角AGB=90度.
所以 AEFG是矩形,AG=EF=b,AE=GF=a
易证 EC=DF,
设 EC=DF=d
连接AC,AD,BD
则
tan角EAC=EC/AE=d/a
tan角EAD=ED/AE=(b-d)/a
又因为 角ADB=90度
所以 角ADE+角BDF=90度
所以 角BDF=角EAD
而 tan角BDF=BF/DF=c/d
所以 tan角EAD=c/d
于是
tan角EAC+tan角EAD=d/a+(b-d)/a=b/a
tan角EAC×tan角EAD=d/a×c/d=c/a
故 tan角EAC和tan角EAD是 ax^2-bx+c=0 的两个根.