用定义法证明证明f(x)=-x^2+2x+m在(-无穷,1]为增函数

用定义法证明证明f(x)=-x^2+2x+m在(-无穷,1]为增函数

在(-无穷,1]上任取x1,x2,设x1<x2
则
f(x1)-f(x2)
=(-x1²+2x1+m)-(-x2²+2x2+m)
=(x2²- x1²)+2x1-2x2
=(x2-x1)(x2+x1)+2(x1-x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2)
因为 x1<x2≤1
所以 x2-x1>0,x1+x2-1<0
所以 f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以 f(x)=-x^2+2x+m在(-无穷,1]为增函数

在 (-无穷,1] 取两点 a b 令 a>b f(b)-f(a)=-b方+2b+m+a方-2a-m =a方-b方+2b-2a =(a+b)(a-b)+2(b-a) =(a-b)(a+b-2) 已知a>b>-1 所以 a-b>0 a+b-2<0 (a-b)(a+b-2)<0 所以 f(b)-f(a)<0 所以 f(b)<f(a) 在(-无穷,1] 当b<a时 f(b)<f(a) 所以 f(x)为增函数

设x1,x2属于（负无穷 ,1］且x1＞x2f(x1)=-x12+2x1+m-(x22+2x2+m)=-(x12-x22)+2(x1-x2)

又因为-(x12-x22)大于0 x1＞x2   所以2(x1-x2)大于0

所以原式大于o  所以f(x)=-x2+2x+m在（负无穷 ,1］上是增函数