1.若正整数a,b,有(ab+1)能够被(a^2+b^2)整除,试证明:(a^2+b^2)除以(ab+1)是完全平方数。
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解决时间 2021-04-10 05:47
- 提问者网友:溺爱和你
- 2021-04-10 00:47
1.若正整数a,b,有(ab+1)能够被(a^2+b^2)整除,试证明:(a^2+b^2)除以(ab+1)是完全平方数。
最佳答案
- 五星知识达人网友:一秋
- 2021-04-10 00:53
若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k=0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k=0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果x<0,则x≤-1,-x≥1,从而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k=0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾。证毕。
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k=0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k=0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果x<0,则x≤-1,-x≥1,从而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k=0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾。证毕。
全部回答
- 1楼网友:杯酒困英雄
- 2021-04-10 02:29
若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数 证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k=0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k=0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果x<0,则x≤-1,-x≥1,从而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k=0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾。证毕。
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