若矩阵A可逆，判断下面的命题是否正确并说明原因
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-03-25 04:17
- 提问者网友：姑娘长的好罪过
- 2021-03-24 15:06
若矩阵A可逆，判断下面的命题是否正确并说明原因
最佳答案
- 五星知识达人网友：荒野風
- 2021-03-24 15:47
A正确。
A可逆，则A*=|A|A^(-1)显然也可逆
B错误
若A的秩为n-1，则A的伴随矩阵秩为1
这是因为A*至少有一个元素，是A的n-1阶子式，不为0
r(A)+r(A*)-n≤r(AA*)=r(0)=0
因此1≤r(A*)≤1
C正确，|A*|=||A|A^(-1)|=|A^(-1)||A|^n = |A|^n/|A|=|A|^(n-1)
D正确，
(A^(-1))*=|A^(-1)|(A^(-1))^(-1)
=|A|^(-1)(A^(-1))^(-1)
=(|A|A^(-1))^(-1)
=(A*)^(-1)
A可逆，则A*=|A|A^(-1)显然也可逆
B错误
若A的秩为n-1，则A的伴随矩阵秩为1
这是因为A*至少有一个元素，是A的n-1阶子式，不为0
r(A)+r(A*)-n≤r(AA*)=r(0)=0
因此1≤r(A*)≤1
C正确，|A*|=||A|A^(-1)|=|A^(-1)||A|^n = |A|^n/|A|=|A|^(n-1)
D正确，
(A^(-1))*=|A^(-1)|(A^(-1))^(-1)
=|A|^(-1)(A^(-1))^(-1)
=(|A|A^(-1))^(-1)
=(A*)^(-1)
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