已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减（1）求a的值；（2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和

已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减
（1）求a的值；
（2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和最小值．

解：（1）∵f（x）=x4-4x3+ax2-1，
∴f′（x）=4x3-12x2+2ax，
∵f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，
∴x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
即4×13-12×12+2a×1=0．
解得a=4，经检验满足题意，
所以a=4．
（2）由（1）得f（x）=x4-4x3+4x2-1，
∴f′（x）=4x3-12x2+8x，
令f′（x）=4x3-12x2+8x=0，得x1=0，x2=1，x3=2，
∵x1=0，x2=1，x3=2∈[-2，2]，
且f（-2）=16+32+16-1=63，
f（0）=0-0+0-1=-1，
f（1）=1-4+4-1=0，
f（2）=16-32+16-1=-1，
∴在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值是63，最小值是-1．解析分析：（1）根据函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令f′（1）=0，可得a的值．（2）由（1）得f′（x）=4x3-12x2+8x，令f′（x）=4x3-12x2+8x=0，得x1=0，x2=1，x3=2，由此能求出在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值和最小值．点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值，体现了数形结合的思想方法，属中档题．

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