三角形的四心的欧拉线
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解决时间 2021-04-04 05:33
- 提问者网友:风月客
- 2021-04-03 13:12
三角形的四心的欧拉线
最佳答案
- 五星知识达人网友:迷人又混蛋
- 2021-04-03 14:43
非等边三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。其中,重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可. 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3,
向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可. 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3,
向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线
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